Wir wollen nun versuchen, die Ableitung \(f'(x)\) einer Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\), \(a>0\) rechnerisch zu bestimmen, und zwar mit der h-Methode.
Wir beginnen mit der Definition:
$$~~~~f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
und setzen \(f(x)=a^x\) ein:
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$
\(a^{x+h}\) können wir mit Hilfe eines Potenzgesetzes umschreiben:
$$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}$$
\(a^x\) kommt in beiden Summanden vor – wir können also ausklammern:
$$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^x\cdot \left(a^h-1\right)}{h}$$
Man sieht: Der Faktor \(a^x\) hat mit der Grenzwertbildung \(h\rightarrow 0\) eigentlich nichts zu tun. Der Term enthält kein \(h\)! Man darf ihn also vorziehen:
$$= a^x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}$$
Wir haben damit bestätigt, was wir auch schon zeichnerisch für \(f(x)=2^x\) herausgefunden hatten:
$$= \underbrace{\left(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}\right)}_{=c}\cdot a^x$$
Die Ableitung einer Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\), \(a>0\) ist ebenfalls wieder eine Exponentialfunktion und zwar mit demselben Wachstums-/Zerfallsfaktor \(a\), aber einem anderen \(y\)-Achsenabschnitt \(c\).
Unser Problem ist nun, dass dieses \(c\) leider alles andere als leicht zu berechnen ist. Hier kann man nicht durch einen raffinierten Trick kürzen! Uns bleibt nur eines: Wir müssen versuchen, \(c\) näherungsweise zu bestimmen.
Dazu setzen wir -anstatt den Grenzwert \(h\rightarrow 0\) zu bilden- einfach möglichst kleine Werte für \(h\) in den Term
$$c\approx \frac{a^h-1}{h}$$
ein. Das können wir natürlich nur für eine konkrete Basis \(a\) tun. Wir versuchen es zunächst für \(a=2\) und \(a=3\). Wir wollen damit die Ableitungen von \(f(x)=2^x\) und \(f(x)=3^x\) wenigstens näherungsweise bestimmen.
Berechnen Sie mit der obigen Formel Näherungswerte für \(c\) und tragen Sie die auf fünf Nachkommastellen gerundeten Werte in die leeren Felder ein. Schätzen Sie anschließend den Grenzwert für \(h\rightarrow 0\) und nennen Sie eine Näherung für die Ableitung.
| Basis \(a\) | \(h=0,1\) | \(0,01\) | \(0,001\) | \(0,0001\) | \(0,00001\) | \(0,000001\) | Grenzwert \(h\rightarrow 0\) | Funktion | Ableitung |
| \(2\) | \(f(x)=2^x\) | ||||||||
| \(3\) | \(f(x)=3^x\) |
Es fällt auf, dass der \(y\)-Achsenabschnitt der Ableitung von \(f(x)=2^x\) unter 1 liegt, während der y-Achsenabschnitt der Ableitung von \(f(x)=3^x\) über 1 liegt.
Es wäre spannend herauszufinden, bei welcher Basis \(a\) der \(y\)-Achsenabschnitt (also das \(c\)) genau 1 ist. Das wäre dann nämlich die Basis, bei der die zugehörige Exponentialfunktion exakt mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Wir geben dieser Basis eine eigene Bezeichnung: \(e\). Wir suchen also nun eine Zahl \(e\), für die gilt:
$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$$
Natürlich sind das alles nur Näherungen – schließlich runden wir ja stets, aber es scheint zu gelten: \(e\approx 2,71828\).
Rechnet man noch genauer, so erhält man \(e\approx 2,718281828\). Es scheint auf den ersten Blick ein periodischer Dezimalbruch zu sein, aber das täuscht!
Die so genannte Eulersche Zahl \(e\) ist genauso wie z.B. \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\) eine irrationale Zahl, kann also nicht exakt als Dezimalbruch dargestellt werden. (Deshalb auch \(e\approx 2,718281828\).)
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Was macht diese Zahl so wichtig?Die Eulersche Zahl ist die Basis, bei der die zugehörige Exponentialfunktion (wir werden diese ab jetzt e-Funktion nennen!) mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Es gilt also: $$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$$ Überlegen Sie: Es gibt ansonsten keine „interessanten“ Funktionen, die mit ihrer Ableitung übereinstimmen. Wir könnten allenfalls \(f(x)=0\) nennen, also die Funktion, die für alle \(x\) den Wert 0 annimmt. Natürlich gilt dann auch \(f'(x)=0\). Die e-Funktion ist die einzige nicht-triviale Funktion, die sich beim Ableiten nicht verändert. |
Die e-Funktion ist so wichtig, dass sie sogar auf dem Taschenrechner zu finden ist: H erreicht man durch qh. Die Zahl \(e\) selbst erhält man durch \(e^1\), also durch Eingabe von qh1= oder einfach mit QK.
Nun wird auch endlich klar, was es mit der ominösen h-Taste auf sich hat. Zur Erinnerung: Wir hatten anfangs nur die luxuriöse i-Taste benutzt, mit der man Logarithmen beliebiger Basis berechnen lassen kann. Die g-Taste dagegen verwendet stets die feste Basis \(a=10\).
Die h-Taste verwendet ebenfalls eine feste Basis, nämlich \(a=e\approx 2,718281828\). Wir nennen \(\ln\) den natürlichen Logarithmus.
Wer alles aufmerksam verfolgt hat, dem ist vielleicht aufgefallen: Unsere eigentliche Aufgabe, nämlich die Ableitung von z.B. \(f(x)=2^x\) exakt zu berechnen, ist noch nicht gelöst! Wir haben bisher nur \(f'(x)\approx 0,69315\cdot 2^x\) herausgefunden.
Stattdessen haben wir eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik entdeckt und die zugehörige e-Funktion wird uns später auch bei unserem eigentlichen Problem helfen. Wir werden später sehen: Wer \(f(x)=e^x\) ableiten kann, der kann auch \(f(x)=2^x\) ableiten!
Die e-Funktion ist einfach großartig!
