Umrechnung von \(c\cdot ax\) auf \(c\cdot e^{kx}\)
Geben Sie die Gleichung der Funktion \(f\) in der gleichwertigen Form \(g(x) = c\cdot e^{kx}\) an.
a) \(f(x) = 2^x\)
| \(2^x=e^{kx}\) | \(|~\log_{e}\) abgekürzt: \(\ln\) |
| \(\Leftrightarrow \ln{2^x}=\ln{e^{kx}}\) | \(|~\) Logarithmusgesetz |
| \(\Leftrightarrow x\cdot\ln{2}=k x\) | \(|~:x\) (wir gehen davon aus, dass \(x\ne 0\). Im Fall \(x=0\) ist die Gleichung ohnehin für jedes \(k\) erfüllt) |
| \(\Leftrightarrow \ln{2}=k\) | |
| \(\Leftrightarrow k\approx 0,6931\) |
Damit haben wir herausgefunden: \(f(x) = 2^x = e^{\ln{(2)}\cdot x}\approx e^{0,6931x}\)
b) \(f(x) = 3^{2x}\)
| \(3^{2x}=e^{kx}\) | \(|~\log_{e}\) abgekürzt: \(\ln\) |
| \(\Leftrightarrow \ln{3^{2x}}=\ln{e^{kx}}\) | \(|~\) Logarithmusgesetz |
| \(\Leftrightarrow 2x\cdot\ln{3}=k x\) | \(|~:x\) (wir gehen davon aus, dass \(x\ne 0\). Im Fall \(x=0\) ist die Gleichung ohnehin für jedes \(k\) erfüllt) |
| \(\Leftrightarrow 2\ln{3}=k\) | |
| \(\Leftrightarrow k\approx 2,1972\) |
Damit haben wir herausgefunden: \(f(x) = 3^{2x} = e^{2\ln{(3)}\cdot x}\approx e^{2,1972x}\)
c) \(f(x) = 4^{-0,5x}\)
| \(4^{-0,5x}=e^{kx}\) | \(|~\log_{e}\) abgekürzt: \(\ln\) |
| \(\Leftrightarrow \ln{4^{-0,5x}}=\ln{e^{kx}}\) | \(|~\) Logarithmusgesetz |
| \(\Leftrightarrow -0,5x\cdot\ln{4}=k x\) | \(|~:x\) (wir gehen davon aus, dass \(x\ne 0\). Im Fall \(x=0\) ist die Gleichung ohnehin für jedes \(k\) erfüllt) |
| \(\Leftrightarrow -0,5\ln{4}=k\) | |
| \(\Leftrightarrow k\approx -0,6931\) |
Damit haben wir herausgefunden: \(f(x) = 4^{-0,5x} = e^{-0,5\ln{(4)}\cdot x}\approx e^{-0,6931x}\)
d) \(f(x) = 200\cdot 10^x\)
| \(10^x=e^{kx}\) | \(|~\log_{e}\) abgekürzt: \(\ln\) |
| \(\Leftrightarrow \ln{10^x}=\ln{e^{kx}}\) | \(|~\) Logarithmusgesetz |
| \(\Leftrightarrow x\cdot\ln{10}=k x\) | \(|~:x\) (wir gehen davon aus, dass \(x\ne 0\). Im Fall \(x=0\) ist die Gleichung ohnehin für jedes \(k\) erfüllt) |
| \(\Leftrightarrow \ln{10}=k\) | |
| \(\Leftrightarrow k\approx 2,3026\) |
Damit haben wir herausgefunden: \(f(x) = 200\cdot 10^x = 200\cdot e^{\ln{(10)}\cdot x}\approx 200\cdot e^{2,3026x}\)
e) \(f(x) = 20\cdot 0,5^{2x}\)
| \(0,5^{2x}=e^{kx}\) | \(|~\log_{e}\) abgekürzt: \(\ln\) |
| \(\Leftrightarrow \ln{0,5^{2x}}=\ln{e^{kx}}\) | \(|~\) Logarithmusgesetz |
| \(\Leftrightarrow 2x\cdot\ln{0,5}=k x\) | \(|~:x\) (wir gehen davon aus, dass \(x\ne 0\). Im Fall \(x=0\) ist die Gleichung ohnehin für jedes \(k\) erfüllt) |
| \(\Leftrightarrow 2\ln{0,5}=k\) | |
| \(\Leftrightarrow k\approx -1,3863\) |
Damit haben wir herausgefunden: \(f(x) = 20\cdot 0,5^{2x} = 20\cdot e^{2\ln{(0,5)}\cdot x}\approx 20\cdot e^{-1,3863x}\)
f) \(f(x) = 60\cdot 3^{-x}\)
| \(3^{-x}=e^{kx}\) | \(|~\log_{e}\) abgekürzt: \(\ln\) |
| \(\Leftrightarrow \ln{3^{-x}}=\ln{e^{kx}}\) | \(|~\) Logarithmusgesetz |
| \(\Leftrightarrow -x\cdot\ln{3}=k x\) | \(|~:x\) (wir gehen davon aus, dass \(x\ne 0\). Im Fall \(x=0\) ist die Gleichung ohnehin für jedes \(k\) erfüllt) |
| \(\Leftrightarrow -\ln{3}=k\) | |
| \(\Leftrightarrow k\approx -1,0986\) |
Damit haben wir herausgefunden: \(f(x) = 60\cdot 3^{-x} = 60\cdot e^{-\ln{(3)}\cdot x}\approx 60\cdot e^{-1,0986x}\)