Wir versuchen zunächst, mit Hilfe von Sekantensteigungen näherungsweise die Steigung einiger Tangenten von \(f(x) = 2^x\) herauszufinden. Dazu benutzen wir ein GeoGebra-Applet, mit dem die Steigung von Geraden durch zwei Punkte \(A\) und \(B\) des Graphen von \(f\) bestimmt werden kann.
Allerdings sind das ja nur Sekantensteigungen! Überlegen Sie, wie man damit möglichst genau die Werte für die Tangentensteigungen an den Stellen \(x \in\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) bestimmen könnte.
Fassen Sie Ihre "Messwerte" in der folgenden Tabelle zusammen:
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(f(x)=2^x\) | |||||||
| \(f'(x) =\) ??? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(f(x)=2^x\) | \(0,125\) | \(0,25\) | \(0,5\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
| \(f'(x) =\) ??? | \(0,09\) | \(0,17\) | \(0,35\) | \(0,69\) | \(1,39\) | \(2,77\) | \(5,55\) |
Offenbar steigt \(f'(x)\) streng monoton an - das ist ja auch klar, denn der Graph von \(f(x) = 2^x\) wird ja mit zunehmendem \(x\) immer steiler.
Überprüfen Sie anhand der sieben "Messwerte", welche Art von Wachstum (linear, quadratisch, exponentiell) hier vorliegt.
Es gilt \(\frac{f'(3)}{f'(2)}\approx 2,004\) , \(\frac{f'(2)}{f'(1)}\approx 1,993\) , \(\frac{f'(1)}{f'(0)}\approx 2,014\) , \(\frac{f'(0)}{f'(-1)}\approx 1,971\) , \(\frac{f'(-1)}{f'(-2)}\approx 2,059\) , \(\frac{f'(-2)}{f'(-3)}\approx 1,889\) ,
d.h. es liegt exponentielles Wachstum vor mit dem Wachstumsfaktor \(a \approx 2\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(c \approx 0,69\).
Es gilt also: \(f(x) = 2^x \Rightarrow f'(x) \approx 0,69 \cdot 2^x\).
D.h. die Ableitung einer Exponentialfunktion scheint wieder eine Exponentialfunktion (mit demselben Wachstumsfaktor \(a\) zu sein - nur der \(y\)-Achsenabschnitt \(c\) ist anders (in diesem Fall \(0,69\) statt \(1\)).
Das müssen wir nun rechnerisch überprüfen und zwar mit der h-Methode.
Zur Veranschaulichung dieser Differenzierungsmethode kann folgendes GeoGebra-Applet evtl. weiterhelfen:
Im Applet wurde nur \(f(x)=2^x\) gezeigt. Rechnerisch wollen wir nun aber beliebige positive Basen betrachten: \(f(x) = a^x\).